Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n2+3n

2

．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n，只证a_n-a_n-1为常数即可；
（Ⅱ）利用错位相减法可求得前n项和；

解答：（Ⅰ）（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，
又当n=1时满足上式，
∴a_n=n+1，
∵a_n-a_n-1=1，
数列{a_n}是等差数列．                     
（Ⅱ）b_n=a_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，
令Tn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，①
2Tn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-Tn=2•2+22+23+…+2n-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2(1-2n)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n•2n+1．

点评：本题考查等差数列的前n项和、错位相减法对数列求和，考查a_n与S_n的关系，属中档题．