Question

已知，函数，．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）求证：．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为

∵　　　∴　   

令　

若，则，在区间上单调递增，此时，无最小值；

② 若，则当时，，当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴当时，有最小值；

③ 若，则，在区间上单调递减，

∴当时，有最小值．

综上：

（2） ∵    ∴

由（1）可知：当时，在区间上有最小值

∴

∴当时，

∵曲线在点处的切线与轴垂直等价于：方程有实数解，而   即方程无实数解，故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直．

（3）（理）由（1）可知：当时， 对恒成立，

即  当时，恒有　．．．．．．．．（＊）

取，得

∴

故   

又 在（＊）式中，取，得：

∴ 

故 

或：又 在（＊）式中，取，得：

∴ 

故