Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

给定椭圆：  ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．

（1）若椭圆过点，且焦距为，求“伴随圆”的方程；

（2）如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点 轨迹的大致图形；

（3）已知椭圆的两个焦点分别是，

椭圆上一动点满足．设点是椭圆的“伴随圆”上的动点，过点作直线使得与椭圆都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点．

 当为“伴随圆”与轴正半轴的交点时，求与的方程，并求线段的长度．

Answer 1

（１）解　由题意得：　，则．．．．．．．．．．１分

又由焦距为，所以　焦距为．．．．．．．２分

故所求的“伴随圆”的方程为．．．．．．．．．．．．．４分

（２）由于椭圆的“伴随圆”与直线有且只有一个交点，

则圆心到直线的距离等于半径，

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

故动点 轨迹方程为　　

即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为３的圆上八分之一弧（除去两端点）如图．．．．１０分

（３）由题意得：得，半焦距

则椭圆的方程为 “伴随圆”的方程为

　　　

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

文科　因为“伴随圆”的方程为与轴正半轴的交点，设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，

则　　整理得．．．．．．．１4分

所以，解得

所以，的方程为，．．．．．．．．．．１６分

由于，垂直，线段的长度为４．．．．．．．．．．．１８分

理科

①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个交点，则其方程为或，

当方程为时，此时与“伴随圆”交于点，，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公点的直线（或），即为（或）显然直线，垂直；

同理可证方程为时 ，直线，垂直，所以．．．．．．13分

②当，都有斜时，设点，其中。设经过点与椭圆为只有一共点的直线为，则消去，

得    

即　　　　　　

经过化简得到：

因为，所以有．．．．．．１６分

设，的斜率分为，因为，与椭圆都有只有一个交点，

所以满足方程

所以，即，垂直．

综合①②知：因为， 经过点，又分别交其“伴随圆”于点，且，垂直，所以线段为“伴随圆” 的直径，所以．．．．．１８分