Question

已知f(x)=x-e

x

a

 (a＞0)．
（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线y=e^x相切？并说明理由；
（Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（Ⅲ）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求证：

x1

x2

＜

e

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在x=0的切线方程，假设切线与曲线y=e^x相切，设出切点，由斜率相等及切点在切线上联立推出矛盾；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，利用函数的单调性求出函数在[a，2a]上的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数f（x）先增后减，有最大值，若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），则最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x₂-x₁＞alna-a，把x₁，x₂代入原函数得到x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，作比后利用放缩可证得要求证的不等式．

解答：（Ⅰ）解：由f(x)=x-e

x

a

 (a＞0)，得：f′(x)=1-

1

a

e

x

a

，则f′(0)=1-

1

a

，f（0）=-1．
∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为y=(1-

1

a

)x-1．
若l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），则

ex0=1- 1 a ex0=(1- 1 a )x0-1

①．
由a＞0，得：0＜ex0=1-

1

a

＜1，∴x₀＜0，
由①得x0=1+

1

1- 1 a

＞1．与x₀＜0矛盾．
∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=e^x相切．
（Ⅱ）解：令f^′（x）=0，得1-

1

a

e

x

a

=0，即x=alna．
由f^′（x）＞0，得x＜alna，由f^′（x）＜0，得：x＞alna．
∴f（x）在（-∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数．
∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）_max=f（a）=a-e．
当a≤alna≤2a，即e≤a≤e²时，f（x）_max=f（alna）=alna-a．
当2a＜alna，即a＞e²时，f(x)max=f(2a)=2a-e2．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f（x）_max=f（alna）=alna-a．
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0．
∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．
得x₂-x₁＞alna-a，又x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，
∴

x1

x2

=e

1

a

(x1-x2)＜e

1

a

(a-alna)=

e

a

．

点评：本题考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，利用了分类讨论的数学思想，特别是（Ⅲ）的证明涉及到放缩法的思想，是该题的难点所在，此题属有一定难度问题．