Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为BC中点．
（1）求证：AF⊥平面BCD；
（2）求直线CE与平面ABDE所成角的正切值；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）通过平面与平面垂直的性质定理，证明AF⊥平面BCD．
（2）取AB的中点H，连接CH，EH，说明∠CEH是直线CE与平面ABDE所成角，然后求解即可．
（3）直接利用棱锥的体积公式求解即可．

解答：解：（1）证明：因为 BD⊥面ABC，又BD?面DBC，
所以面DBC⊥面ABC，而面DBC∩面ABC=BC，AF⊥BC，
故AF⊥平面BCD．…（4分）
（2）解：取AB的中点H，连接CH，EH，
则CH⊥AB，
又AE⊥面ABC，AE?面ABDE，所以面ABDE⊥面ABC，
面ABDE∩面ABC=AB，CH⊥面ABDE，
所以∠CEH是直线CE与平面ABDE所成角，
tan∠CEG=

EH

BH

=

6

2

…（7分）  
（3）解：V_C-ABDE=

1

3

×

(AE+BD)×AB

2

×CH=

1

3

×

3×2

2

×

3

=

3

…..（10分）

点评：本题考查平面与平面垂直的性质定理，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．