Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=

x

x2+1

．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）判断并证明函数在区间[0，1]上的单调性．

Answer 1

分析：（1）分别把x=0，x=-1代入已知函数解析式可求
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(-x)=

-x

x2+1

结合函数f（x）为偶函数有f（-x）=f（x）可求
（3）利用定义，设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x2)-f(x1)=

-x2

x22+1

-

-x1

x12+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

，根据已知即可判断f（x₂）与f（x₁）的大小即可

解答：解：（1）当x=0，x=-1时，f(0)=0，f(-1)=-

1

2

…（2分）
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(-x)=

-x

x2+1

…（4分）
因为函数f（x）为偶函数，所以有f（-x）=f（x）
既f(x)=

-x

x2+1

…（6分）
所以f(x)=

-x x2+1 ，x∈[0，1] x x2+1 ，x∈[-1，0)

…（8分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x2)-f(x1)=

-x2

x22+1

-

-x1

x12+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

…（12分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0…（14分）
∴

(x2-x1)(x1x2-1)

(1+ x12)(1+x22)

＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在[0，1]为单调减函数…（16分）

点评：本题主要考察了由函数的解析式求解函数值，利用偶函数的性质求解函数的解析式，利用函数单调性的定义判断函数在某一区间上的单调性，属于函数知识的综合考查