Question

已知函数f(x)=

sinx+x

2x2+cosx

，项数为25的等差数列{a_n}满足：an∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…f（a₂₅）=0，则当k=

13

时，f（a_k）=0．

Answer 1

分析：根据所给的函数式，得到函数函数是一个奇函数，函数的图象关于原点对称，项数为25的等差数列{a_n}且公差d≠0，若f（a₁）+f（a₂）+…f（a₂₅）=0，中间一项对应的函数的值是0，得到结果．

解答：解：∵函数f(x)=

sinx+x

2x2+cosx

，
∴f（-x）=-f（x）
∴函数函数是一个奇函数，函数的图象关于原点对称，
∵项数为25的等差数列{a_n}满足：an∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0，
若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₅）=0，
∴中间一项对应的函数的值是0，
∴a₁₃=0，f（a₁₃）=0．
故答案为：13．

点评：本题考查等差数列的意义和奇函数的意义，本题解题的关键是看出函数是一个奇函数，得到函数的图象关于原点对称．