Question

（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)

设数列的前项和满足,其中.

(I)求证:是首项为1的等比数列;

(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.

Answer 1

 (1)证明:由,得,即.

因,故,得,

又由题设条件知,

两式相减得,即,

由,知,因此

综上,对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.

(2)当或时,显然,等号成立.

设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:

 

即证:

当时,上面不等式的等号成立.

当时,与,()同为负;

当时,    与,()同为正;   

因此当且时,总有 ()()>0,即

,().

上面不等式对从1到求和得,

由此得

综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.