Question

设函数f（x）=e^x﹣ax﹣2

（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间；

（3）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）求导函数，利用f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，建立方程，可求a的值；

（2）对a分类讨论，利用导数的正负，可得当x∈（﹣∞，0）时，求f（x）的单调区间；

（3）由题意，x＞0时，不等式等价于，求出右边函数的值域，即可求k的最大值．

解答：

解：（1）求导函数可得f′（x）=e^x﹣a，则

∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，

∴f′（1）=0，解得a=e；

（2）f′（x）=e^x﹣a

若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

若a＞0，令f′（x）=e^x﹣a=0，得x=lna

①当0＜a＜1时，x=lna＜0，∴函数的单调递减区间是（﹣∞，lna）；单调增区间是（lna，0）；

②当a≥1时，x=lna＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；

（3）由于a=1，∴（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e^x﹣1）+x+1，

∴x＞0时，不等式等价于①

令g（x）=，则

由①知，函数h（x）=e^x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0

∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，

∴g′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，

设此零点为α，则α∈（1，2）

当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0

∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）

∵g′（α）=0，∴e^α=α+2

∴g（α）=α+1∈（2，3）

∵①等价于k＜g（α）．k∈Z

∴k的最大值为2．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查函数的值域，属于中档题．