Question

设函数，若在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）对任意的，证明：．

Answer 1

解：（Ⅰ），依题意有：

（Ⅱ）恒成立．

（ⅰ）恒成立，即．　

恒成立，则．

当时，

,

则，，单调递增，

当，，单调递减，

则，符合题意，即恒成立．

所以，实数的取值范围为．　

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为．

令，考虑函数

，

下证明，即证：，即证明

由，即证，

又，只需证，

即证，显然成立．

即在单调递增，，

则，得成立，

则对任意的，成立．