题目内容

已知
a
=(1，2)，
b
=(-3，2)，
（1）求
a
-2
b
的坐标；
（2）当k为何值时？k
a
+
b
与
a
-2
b
共线．
（3）设向量
a
与
b
的夹角为θ，求sin2θ的值．
分析：（1）利用向量的坐标运算即可求得
a
-2
b
的坐标；
（2）利用共线向量k
a
+
b
与
a
-2
b
的坐标运算即可求得k的值；
（3）利用向量的数量积求得cosθ的值，继而可求得sinθ的值，利用二倍角的正弦即可求得sin2θ的值．
解答：解：（1）
a
-2
b
=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2）…4分
（2）k
a
+
b
=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
a
-2
b
=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2）…6分
∵k
a
+
b
与
a
-2
b
共线，
∴7（2k+2）=-2（k-3）…7分
∴k=-
1
2
…8分
（3）∵
a
•
b
=1，|
a
|=
5
，|
b
|=
13
…9分
∴cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
1
65
=
65
65
…10分
∴sinθ=
8
65
=
8
65
65
…11分
∴sin2θ=2sinθcosθ=
16
65
…12分
点评：本题考查平面向量共线的坐标表示，考查数量积表示两个向量的夹角，考查二倍角的正弦，属于中档题．
练习册系列答案
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已知
a
=(1，2)，
b
=(-3，2)，当k为何值时，
（1）k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直？
（2）k
a
+
b
与
a
-3
b
平行？平行时它们是同向还是反向？
已知A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，则A∩（B∪C）=
{1，2，3，4，5，6}
{1，2，3，4，5，6}
．
已知
a
=(1，2)，
b
=(-3，2)，
（1）求
a
-3
b

（2）当k
a
+
b
与
a
-3
b
平行时，求实数k的值．它们是同向还是反向？
（2011•朝阳区二模）对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）求证：不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x1，x2∈A，若|x1-x2|∈{1，2，3}，则f（x1）≠f（x2）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“和谐集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．
已知A={1，2，3}，B={1，2}．定义集合A、B之间的运算“*”：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B的所有子集的个数为
16
16
．

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