题目内容
已知函数f(x)=
x3+
ax2+bx+1(a、b∈R,b≥-2)在区间［-
,
］单调递减,设g(x)=-3f(x)+mx2-6x(m∈R).(1)求函数f(x)的解析式.
(2)若x∈R+时,g′(x)≤
恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)f′(x)=x2+ax+b,∵f(x)在［-,］递减,∴x∈［-,］时f′(x)≤0恒成立,
f′()=2+
a+b≤0,①f′(-
)=2-
a+b≤0,②
①+②得4+2b≤0,∴b≤-2.又∵b≥-2,∴b=-2.∴f′(x)=x2+ax-2.
若
≤0,即a≥0时,则f′(
)=2+
a-2≤0,即a≤0,∴a=0.
若
＞0,即a＜0时,则f′(-
)=2-
a-2≤0,即a≥0与a＜0矛盾,∴舍去.综上a=0.
∴f(x)=
x3-2x+1.
(2)g(x)=-3(
x3-2x+1)+mx2-6x=-x3+mx2-3,∴g′(x)=-3x2+2mx≤
(x∈R)在x∈R+时恒成立.
∴2mx≤3x2+
.∵x＞0,∴m≤
(3x+
)在x∈R+时恒成立.
x＞0时,3x+
≥2,即3x+
的最小值为2.∴m≤
·2,即m≤1.
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