Question

如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a_n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S_n，则S₁₉的值为

 

．

Answer 1

分析：从杨辉三角的生成过程，C_n^m-1+C_n^m=C_n^m，对该数列分奇偶讨论，求出数列的通项公式，解决S₁₉的值

解答：解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式a_n；
当n为偶数时，a_n+2=a_n+1，
∴a_n是以3为首项，1为公差的等差数列，∴an=

n+4

2

，
n为奇数时，a_n+2=a_n+a_n-1（n≥3），即an+2-an=

n+3

2

∴a₅-a₃=3
a₇-a₅=4…
an-an-2=

n+1

2

∴an=

(n+1)(n+3)

8

而a₁=1满足上式
故n为奇数是，an=

(n=1)(n+3)

8

∴S₁₉=（a₁+a₃+…a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₁₈）
=

1

8

[12+32+52+…+192+4(1+3+5+…+19)+30]+ (3+4++…+11)
=220+63=283
故答案为：283．

点评：从杨辉三角形成的过程，得出数列的通项公式是难点和关键，题目比较新，属中档题．