题目内容

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（I）求证：AF∥平面BCE；
（II）求二面角D-BC-E的正弦值．

（I）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF= $\text{[math]}$ DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB= $\text{[math]}$ DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC，则∠ENM为二面角D-BC-E的平面角
设AB=a，则AD=DE=2a，所以BC=BD= $\text{[math]}$ a，AF=2a，CE=2 $\text{[math]}$ a
由（I）BG∥AF，∴BG⊥CD
∵BG⊥DE，CD∩DE=D，∴BG⊥面CDE
由V_B-CDE=V_E-BCD，可得EM= $\text{[math]}$
在△BCE中， $\text{[math]}$ ，∴EN= $\text{[math]}$
设二面角D-BC-E的平面角θ，则sinθ= $\text{[math]}$
分析：（I）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AF∥BG，从而证明AF∥平面BCE；
（II）过E作EM⊥面BCD，垂足为M，过E作EN⊥BC，则∠ENM为二面角D-BC-E的平面角，由V_B-CDE=V_E-BCD，可得EM= $\text{[math]}$ ，在△BCE中， $\text{[math]}$ ，可得EN= $\text{[math]}$ ，从而可求二面角D-BC-E的正弦值
点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出面面角，属于中档题．