Question

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx。
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值为3？

Answer 1

解：（1）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-[a（-x）+ln（-x）] =ax-ln（-x）
故。
（2）假设存在负实数a使得当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-ln（-x）最小值是3，
则由f'（x），知
①当，即时，由x∈[-e，0）得f'（x）≥0，
此时函数f（x）=ax-ln（-x）递增，
所以f（x）_min=f（-e）=-ae- 1=3
解得（舍去）；
②当，即时，
则当时，f'（x）≤0，函数f（x）=ax-ln（-x）递减；
当时，f'（x）>0，函数f（x）=ax-ln（-x）递增
所以，函数当x∈[-e，0）时，
，解得a=-e²
综上可知，存在实数a=-e²，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）有最小值是3。