Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且1+cos（π+2A）=2sin²

B+C

2

．
（1）求角A的大小；
（2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）将条件1+cos（π+2A）=2sin²

B+C

2

化简，结合A是三角形的内角，可求角A的大小；
（2）先利用余弦定理得bc≤36，又由于S=

3

4

bc，故可求面积的最大值，根据取最大时b=c及（1）的结论可知△ABC的形状．

解答：解：（1）由已知得：1-cos2A=2cos2

A

2

，∴4sin2

A

2

cos2 

A

2

=cos2

A

2

，∴sin

A

2

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）b²+c²-bc=36，∴bc≤36，故三角形的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤9

3

．
当且仅当b=c时等号成立；又A=

π

3

，故此时△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查三角函数与三角形的结合，考查三角形的面积公式即基本不等式的运用，属于基础题．