题目内容

已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜π）在x= $数学公式$ 时取最大值2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为 $数学公式$ ．
（1）求f（x）；
（2）若f（a）= $数学公式$ ，a∈（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），求sin（ $数学公式$ -2a）的值．

解：（1）由已知得：A=2， $\text{[math]}$ 所以T=π，2ω=2从而ω=1；
且sin（2× $\text{[math]}$ x+φ）=1 结合0＜φ＜π知φ= $\text{[math]}$ 所以函数f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
（2）由f（a）= $\text{[math]}$ ，得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
因a∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），所以 $\text{[math]}$
所以cos（2a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
于是sin（ $\text{[math]}$ -2a）=sin[ $\text{[math]}$ ]
=-cos（2a+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
分析：（1）利用函数的最大值求出A，|x₁-x₂|的最小值为 $\text{[math]}$ ．求出函数的周期，得到ω，利用x= $\text{[math]}$ 时取最大值2，结合0＜φ＜π，求出φ，求出函数f（x）的表达式；
（2）通过f（a）= $\text{[math]}$ ，a∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求出cos（2a+ $\text{[math]}$ ），利用诱导公式化简sin（ $\text{[math]}$ -2a），得到cos（2a+ $\text{[math]}$ ）的形式，从而求出表达式的值．
点评：本题是中档题，考查函数的解析式的求法，注意周期的应用，诱导公式的化简是简化（2）的关键，考查计算能力．