Question

已知函数f(x)=x²e^-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.

Answer 1

当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e^-2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a^-2e^-2,

当a＞2时，f(x)的最大值为e^-a.   

解析:

  ∵f（x）=x²e^-ax（a＞0）,

∴f′(x)=2xe^-ax+x²·（-a)e^-ax=e^-ax(-ax²+2x).                                                                       3分

令f′(x)＞0,即e^-ax(-ax²+2x)＞0,得0＜x＜.

∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，

在上是增函数.

①当0＜＜1,即a＞2时,f(x）在（1，2）上是减函数,

∴f（x）_max=f（1）=e^-a.                                                                                                       8分

②当1≤≤2,即1≤a≤2时，

f(x)在（1, ）上是增函数，在（,2）上是减函数，

∴f(x)_max=f（）=4a^-2e^-2.                                                                                                    12分

③当＞2时，即0＜a＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，

∴f（x）_max=f（2）=4e^-2a.

综上所述，当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e^-2a,

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a^-2e^-2,

当a＞2时，f(x)的最大值为e^-a.                                                                                        14分