Question

【题目】椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.

（1）证明：直线，与直线，斜率之积为定值.

（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.

【解析】

（1）设点，结合直线的斜率公式和椭圆的方程，代入求得直线与直线的斜率之积为定值.

（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，进而求得，再联立直线的方程组，求得点的横坐标，结合向量的数量积的公式，即可求解.

（1）由题意，设点,

则直线的斜率为 ，直线的斜率为，

所以，

又由点在椭圆上，可得，即，

所以，

即直线与直线的斜率之积为定值.

（2）由直线过点，所以直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，则，

则，即，

又由直线，直线，

联立方程组，可得，

整理得，

解得，即点

又由向量，

所以（定值），

即为定值.