Question

设函数f（x）=2^x+a•2^-x-1（a为实数）．
（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，对任意实数x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）与0的关系，化简可得f（x₁）-f（x₂）＜0，则为增函数；
（2）当a=0，y=f（x）=2^x-1，因y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，可得到y=g（x）的解析式．

解答：解：（1）设任意实数x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(2x1+a•2-x1-1)-(2x2+a•2-x2-1)=(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2)=(2x1-2x2)•

2x1+x2-a

2x1+x2

∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；
∵a＜0，∴2x1+x2-a＞0．
又2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）是增函数．
（2）当a=0时，y=f（x）=2^x-1，所以2^x=y+1，所以x=log₂（y+1），y=g（x）=log₂（x+1）．

点评：此题主要考查函数当调性定义的证明方法及相关计算．