Question

（2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．
（1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）设函数f（x）=log_a（1-a^x），求f（x）的反函数f^-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得f（f（x））=x，g（g（x））=4x-3，从而可作出判断；
（2）由y=loga(1-ax)，a＞1时可求得其反函数为y=loga(1-ax)（x＜0），0＜a＜1时，反函数为y=loga(1-ax)（x＞0），可求得f（f（x））=x，从而可判断f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f^-1（x），且f^-1（x）=f（x），举例即可．

解答：解：（1）∵对任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，
∴f（x）=-x+1∈M--（2分）
∵g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等于x，
∴g（x）∉M--------------（4分）
（2）设y=loga(1-ax)，
①a＞1时，由0＜1-a^x＜1解得：x＜0，y＜0；
由y=loga(1-ax)，
解得其反函数为y=loga(1-ax)，（x＜0）------（6分）
②0＜a＜1时，由0＜1-a^x＜1解得：x＞0，y＞0
解得函数y=loga(1-ax)的反函数为y=loga(1-ax)，（x＞0）-----------（8分）
∵f（f（x））=loga(1-aloga(1-ax))=loga(1-1+ax)=x
∴f（x）=loga(1-ax)∈M--------------------------------（11分）
（3）f（x）≠x，f（x）∈M的条件是：f（x）存在反函数f^-1（x），且f^-1（x）=f（x）---------------------（13分）
函数f（x）可以是：f（x）=

-bx+c

ax+b

（ab≠0，ac≠-b²）；
f（x）=

k

x

（k≠0）；
f（x）=

a-x2

（a＞0，x∈[0，

a

]）；
f（x）=loga

1-ax

1+ax

（a＞0，a≠1）；
f（x）=sin（arccosx），（x∈[0，1]或x∈[-1，0]），f（x）=cos（arcsinx）；
f（x）=arcsin（cosx），（x∈[0，

π

2

]或x∈[

π

2

，π]），f（x）=arccos（sinx）．
以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：
给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得（3分）．属于以上同一类型的两个函数得（1分）；
写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分；函数定义域或条件错误扣（1分）．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查反函数，考查抽象思维与综合分析与应用的能力，属于难题．