Question

5．已知9^x+4^y=1，求3^x-1+2^2y-1的最大值．

Answer 1

分析 根据条件得出4^y=1-（3^x）²，运用指数幂得出m=3^x-1+2^2y-1=$\frac{1}{3}$×3^x+$\frac{1}{2}×$4^x=$\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}×$（1-（3^x）²）=-$\frac{1}{2}×$（3^x）²$+\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}$，整体转化为二次函数求解即可．

解答 解：∵9^x+4^y=1，
∴4^y=1-（3^x）²，
∴m=3^x-1+2^2y-1=$\frac{1}{3}$×3^x+$\frac{1}{2}×$4^x=$\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}×$（1-（3^x）²）=-$\frac{1}{2}×$（3^x）²$+\frac{1}{3}×{3}^{x}$$+\frac{1}{2}$
设t=3^x，
∴m=$-\frac{1}{2}{t}^{2}$$+\frac{1}{3}t$$+\frac{1}{2}$，
当t=$\frac{1}{3}$时，m最大值为：$-\frac{1}{2}×\frac{1}{9}$$+\frac{1}{9}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{10}{18}$=$\frac{5}{9}$

点评 本题考查了运用函数思想转化求解代数式的范围问题，属于中档题，关键是指数幂的化简运算．