题目内容
设函数f（x）=x3+4x
（1）用定义证明f（x）在R上为奇函数；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．
（1）用定义证明f（x）在R上为奇函数；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明．
（1）由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．（2分）
因为f（-x）=（-x）3+4（-x）=-x3-4x=-f（x），
所以f（x）是奇函数（6分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数（7分）
证明：任意取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2f（x1）-f（x2）=（x13-x23）+4（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+4）
=(x1-x2)[(x1+
)2+
+4]（11分）
因为x1＜x2所以x1-x2＜0
因为(x1+
)2+
+4＞0显然成立
所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．（14分）
因为f（-x）=（-x）3+4（-x）=-x3-4x=-f（x），
所以f（x）是奇函数（6分）
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数（7分）
证明：任意取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2f（x1）-f（x2）=（x13-x23）+4（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22+4）
=(x1-x2)[(x1+
| x2 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
因为x1＜x2所以x1-x2＜0
因为(x1+
| x2 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数．（14分）
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