Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
（1）求S₂₀₀；　　　　　　（2）求b_n．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，d=1为公差的等差数列，
∴S₂₀₀=．
（2）由（1）得a_n=n，
∵数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n，
∴nb_n+1=2（n+1）b_n，
∴，
∴{}是以=2为首项，q=2为公比的等比数列，
∴=2×2^n-1=2ⁿ，
∴．
分析：（1）由{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1-a_n-1=0，知数列{a_n}是以a₁=1为首项，d=1为公差的等差数列，由此能求出S₂₀₀．
（2）由a_n=n，数列{b_n}满足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n，知nb_n+1=2（n+1）b_n，所以，由此知{}是以=2为首项，q=2为公比的等比数列，由此能求出b_n．
点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．