Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且.

（1）证明：平面；

（2）求以为棱，与为面的二面角的大小

（3）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在；证明见解析.

【解析】

（1）根据菱形的性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）作交于，根据平行线的性质可以得到平面.

作于，连结.，即为二面角的平面角，通过正切的定义求解即可；

（3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，可知轴垂直平分，利用空间向量的共线向量的定义，结合线面垂直的判定定理和性质定理进行求解即可.

（1）证明：因为底面是菱形，，所以.

在中，由，知.同理，.所以平面；

（2）解：作交于，由平面，知平面.

作于，连结.因为平面，所以，而，所以平面，而平面，

则，即为二面角的平面角.

又，所以，，.

从而，；

（3）由（1）知平面，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，可知轴垂直平分.

则，，，.

设；

∴.

设为平面的法向量，

则有：.

令得.

若平面，则有，

∴.

解得，此时为的中点.

因此在棱上存在一点，使平面.