Question

10．某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为$\frac{4}{5}$，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，每次投中的概率为$\frac{2}{3}$，投中得3分，不中得0分，该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上三次投篮．
（Ⅰ）求该同学恰好2次投中的概率；
（Ⅱ）求该同学所得分X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定共2³=8，中情形，得出其中只有2次中的情形，（1，1，0），（1，0，1）（0，1，1）3种，根据概率公式求解即可．
（Ⅱ）根据题意得出随机变量的值：X得分共有6种情形，X=0，2，3，4，5，7，
利用给出的数据得出相应的概率，列出分布列，求解数学期望即可．

解答 解：（Ⅰ）总共有3次投篮，每次投不中记0，共2³=8，中情形，其中只有2次中的情形，
（1，1，0），（1，0，1）（0，1，1）3种，
其发生的概率为P=$\frac{4}{5}$$•\frac{4}{5}$•（1-$\frac{2}{3}$）$+\frac{4}{5}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{32}{75}$；
（Ⅱ）得分共有6种情形，X=0，2，3，4，5，7，
得分X=0，的情形（0，0，0），P=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{75}$，
得分X=2，的情形（1，0，0），（0，1，0），P=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{75}$，
得分X=3，的情形（0，0，1），P=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$××$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{75}$，
得分X=4，的情形（1，1，0），P=$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{75}$，
得分X=5，的情形（1，0，1），（0，1，1），P=2×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{75}$，
得分X=7，的情形（1，1，1），P=$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{32}{75}$，
∴X的分布列为：

X	0	2	3	4	5	7
P	$\frac{1}{75}$	$\frac{8}{75}$	$\frac{2}{75}$	$\frac{16}{75}$	$\frac{16}{75}$	$\frac{32}{75}$

E（X）=$\frac{26}{5}$

点评 本题考查了离散型的概率分布，数学期望的求解，注意分清随机变量的取值，准确求解相应的概率的数值，属于中档题．