Question

关于函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

，x∈[-

π

2

，

π

2

]有下面四个结论：
（1）f（x）是奇函数；    
（2）f（x）＜

3

2

恒成立；
（3）f（x）的最大值是

3

2

； 
（4）f（x）的最小值是-

1

2

．
其中正确结论的是

（2）、（4）

．

Answer 1

分析：由函数为偶函数，故排除（1）；根据函数在[0，

π

2

]内是增函数，故当x=

π

2

时，函数取得最大值为

3

2

-(

2

3

)

π

2

＜

3

2

，可得（2）成立且（3）不成立．再根据当x=0时，函数取得最小值为 0-1+

1

2

=-

1

2

，可得（4）成立，综合可得结论．

解答：解：由于函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

，x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得此函数为偶函数，故排除（1）．
且函数在[0，

π

2

]内是增函数，故当x=

π

2

时，函数取得最大值为

3

2

-(

2

3

)

π

2

＜

3

2

，
故（2）成立且（3）不成立．
再根据函数在[0，

π

2

]内是增函数，可得当x=0时，函数取得最小值为 0-1+

1

2

=-

1

2

，故（4）成立．
故答案为 （2）、（4）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、奇偶性和最值，属于中档题．