Question

【题目】已知平面上动点到点距离比它到直线距离少1．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）记动点的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点，点，延长，，与曲线交于，两点，若直线，的斜率分别为，，试探究是否为定值？若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题意结合抛物线定义直接写出方程即可；（2）设，，，，直线方程为，直线方程为．分别与抛物线方程联立，得到韦达定理，找出，之间的关系，得出定值.

解：（1）设动点．

由题意知动点到点距离和到直线距离相等，

由抛物线定义得动点的轨迹方程为．

（2）设．

由题意可令直线方程为，直线方程为．

将直线方程代入抛物线方程，并化简得．

则，．

将直线方程代入抛物线方程，并化简得．

则，同理可得．

因此

故，即为定值．