Question

(吉林实验中学模拟)如下图，在正方体ABCD－中，M是棱AB的中点．

(1)求证：BC∥平面；

(2)求二面角－－C的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)． 又平面，平面， 平面；　　　　(5分) (2)设平面与棱DC相交于点N，连结，则点N是DC的中点． 平面，平面，∴平面平面，且是交线． 过点C作于H点，则CH⊥平面，再过H作HO⊥于点O， 连结CO，根据三垂线定理得，从而是二面角C－－N，也就是所求二面角的补二面角的平面角．　　(8分) 设正方体的棱长为2，则在中，由于，所以有． 在中，由于，，所以有 ． 又由于可求得 ． ， 所以在中，有 ． 进而有． 根据三角形面积公式得 ． 从而在中，，． 因此所求的二面角的大小为．　　　　(12分) 解法二：分别以直线DA、DC、为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，并设正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为(2，0，2)，(0，0，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，　　　　(6分) 设n=(x，y，z)是平面的法向量，． 而且， 所以有即 令z=1，则y=2x，x=0，从而．　　　　(8分) 再设是平面的法向量， 则， 而且， 所以有即 令，则，从而． 设θ是所求二面角的平面角，则θ是钝角，并且有， 即为所求．　　　　(12分)