Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知得，解得a=4，c=3，
所以椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）设M（x，y），其中x∈[-4，4]，
由已知及点P在椭圆C上可得，
整理得，其中x∈[-4，4]，
（ⅰ）时，化简得，
所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；
（ⅱ）时，方程变形为，其中x∈[-4，4]，
当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。