Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn(n∈N*)，a1=

2

3

，且当n≥2时，S_nS_n-1-3S_n+2=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若bn=

1

Sn-1

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{

Sn+1-1

Sn-1

}的前n项和为T_n，证明：

n

2

-

1

7

＜Tn＜

n

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题可通过递推公式由首项a₁求出数列的第二项和第三项．
（Ⅱ）由bn=

1

Sn-1

，用b_n表示出S_n，然后代入S_nS_n-1-3S_n+2=0中，就可以求得数列{b_n}的递推式，通过构造即可求得其通项公式．
（Ⅲ）要证不等式成立，需先求出T_n，需要利用前面的结论求出{

Sn+1-1

Sn-1

}的通项公式，然后通过放缩即可证明不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵当n≥2时，s_ns_n-1-3s_n+2=0，a1=

2

3

．
∴当n=2时，

2

3

s2-3s2+2=0，解得s2=

6

7

．
则a2=s2-a1=

6

7

-

2

3

=

4

21

．
当n=3时，

6

7

s3-3s3+2=0，解得s3=

14

15

，可得a3=

8

105

．
（Ⅱ）当n≥2时，s_ns_n-1-3s_n+2=0，由bn=

1

Sn-1

得sn=1+

1

bn

，
于是(1+

1

bn

)(1+

1

bn-1

)-3(1+

1

bn

)+2=0，
化简，得b_n=2b_n-1-1，从而b_n-1=2（b_n-1-1），
∴{b_n-1}是以2为公比的等比数列．∴b_n-1=（b₁-1）•2^n-1=-2ⁿ⁺¹，b_n=-2ⁿ⁺¹+1．
（Ⅲ）由（2），得

Sn+1-1

Sn-1

=

bn

bn+1

=

1-2n+1

1-2n+2

=

1

2

-

1

8•2n-2

=

1

2

-

1

7•2n+2n-2n

．
∴

1

2

-

1

7•2n

≤

Sn+1-1

Sn-1

＜

1

2

．
从而

n

2

-

1

7

 (1-

1

2n

)≤Tn＜

n

2

，

n

2

-

1

7

＜Tn＜

n

2

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，求数列的前n项和，在证明不等式时注意放缩法的应用．是中档题．