题目内容

如图，椭圆C： $数学公式$ 过点M（1， $数学公式$ ），N（ $数学公式$ ），梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，且AB＞CD）内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设AB=m，CD=n，OE=d，试求 $数学公式$ 的最大值．

解：（Ⅰ）由题意得 $\text{[math]}$ ，
解得a²=9，b²=4，
所以椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）根据对称性可知点E在x轴上，则E点的坐标为（d，0），
设BD的方程为x=ky+d（k＞0），由 $\text{[math]}$ 得（9+4k²）y²+8dky+4d²-36=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ，
m-n=-2y₁-2y₂= $\text{[math]}$ ，
从而 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
等号当且仅当k= $\text{[math]}$ 取得．
$\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）把M、N两点坐标代入椭圆方程解方程组即可；
（Ⅱ）易判断点E在x轴上，则E（d，0），设BD的方程为x=ky+d（k＞0），与椭圆方程联立消x得关于y的一元二次方程，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由韦达定理可得y₁+y₂，进而可把m-n、 $\text{[math]}$ 用k表示出来，再利用基本不等式即可求得其最大值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，（Ⅱ）问关键是 $\text{[math]}$ 表示为k的函数．