Question

AB为⊙O中的一条长为4的弦,P为⊙O上的一动点,cos∠APB =.问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形,试说明理由.若存在,求出这个三角形的面积.

Answer 1

思路解析:因为AB为定值,要使S_△APB最大,只要AB边上的高最大,所以P在弓形的最高点即可,又∠APB为定值,根据圆周角定理的推论,想到构造直角三角形,使其一锐角等于∠APB.

解法一:存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形.?

图2-1-12

∵cos∠APB=,∴∠APB≠90°.?

∴AB不是直径.?

过O作AB的垂线并延长,分别交优弧和劣弧的中点于P、Q,且PD、QD为弓形的高,?

∴P为优弧中点时,△APB面积最大,作⊙O直径AC,连结BC,?

则∠ABC =90°,∠APB=∠C,?

∴cos∠APB =cosC = =.?

设BC=x,则AC =3x,?

在Rt△ABC中,AB =4,?

由勾股定理AC² =AB²+BC²,?

∴(3x)² =4²+x²,解得x =.?

∴BC=,AC =3.∴ .?

∵AO =OC,AD =BD,∴ .?

∴PD = PO + OD = + =.?

∴S_△APB = AB·PD =×4×2=.

解法二:同解法一,P为优弧中点时,△APB面积最大.?

作AC⊥PB,垂足为C,?

图2-1-13

在Rt△PCA中,cos∠APC=,?

∴=.?

设PC=x,则PA =PB =3x,AC =2x,BC =2x,?

在Rt△ACB中,AB =4,?

由勾股定理得AC²+BC²=AB²,?

∴ +(2x)²=16,解得.?

∴AC =2x=,PB =3x =.?

∴S_△PAB =PB·AC =.