Question

已知f（x）是奇函数，当x＞0时，
（I）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

解：（I）当x＜0时，-x＞0，可得，
由于f（x）是奇函数，于是f（-x）=-f（x），
所以当x＜0时，． （4分）
（II）证明：设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则
由0＜x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函数在（0，+∞）上是减函数． （8分）
分析：（I）设x＜0时，则-x＞0，代入已知由函数的奇偶性可得解析式；
（II）设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，可判f（x₁）-f（x₂）＞0，由单调性的定义可得．
点评：本题考查函数解析式的求解即常用方法，以及单调性的判断和证明，属基础题．