Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx，
（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=，x₁x₃=-12，且a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′（1）=a，3a＞2c＞2b，试问：导函数f′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导数f′（x）的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ），
∴，
x₁与x₃是方程的两根，
，
由（1）、（2）可知：，
，
；
（Ⅱ），
∴，
∴，
，
，
①当c＞0时，f′（0）＞0，f′（1）＜0，
∴f′（x）在（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，f′（2）＞0，f′（1）＜0，
∴f′（x）在（1，2）内至少有一个零点；
综上f′（x）在（0，2）内至少有一个零点；
（Ⅲ）设m、n是导函数f′（x）=ax²+bx+c的两个零点，
，
；
另一方面：2c=-3a-2b且3a＞2c＞2b，
∴3a＞-3a-2b＞2b，
∴，
∴；
综上，。