Question

【题目】对于函数f（x）=xlnx有如下结论： ①该函数为偶函数；
②若f′（x0）=2，则x0=e；
③其单调递增区间是[ ，+∞）；
④值域是[ ，+∞）；
⑤该函数的图象与直线y=﹣ 有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）
其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）

Answer 1

【答案】②③⑤
【解析】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误； f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正确；
令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，
解得：x＞ ，
∴f（x）的单调递增区间是[ ，+∞），故③正确；
由f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，
得：f（x）的最小值是f（ ）=﹣ ，
故f（x）的值域是[﹣ ，+∞），故④错误；
故该函数的图象与直线y=﹣ 有且只有一个公共点，⑤正确；
所以答案是：②③⑤．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．