Question

已知函数f（x）=|x²-2x-3|．若a＜b＜1，f（a）=f（b），则2a+b的取值范围是

[3-2

10

，3-4

2

）

．

Answer 1

分析：作出f（x）=|x²-2x-3|的图象，结合题意，可求得a，b的取值范围，利用线性规划的知识，可求得2a+b的取值范围．

解答：解：f（x）=|x²-2x-3|=|（x-3）（x+1）|，
当x=1时，f（x）=4，

令 f（x）=4，则x=1或x=1-2

2

或 x=1+2

2

，
∵a＜b＜1，f（a）=f（b），
∴-1＜b＜1，1-2

2

＜a＜-1；
（a-1）²-4=4-（b-1）²，即（a-1）²+（b-1）²=8，
由函数f（x）的图象知，-1＜b＜1，1-2

2

＜a＜-1，
在平面直角坐标系aOb中作出（a-1）²+（b-1）²=8（-1＜b＜1，1-2

2

＜a＜-1）的图象，是第二、三象限内的一段弧，

作出直线2a+b=c的图象，由点到直线间的距离公式得：

|3-c|

5

≤2

2

，解得3-2

10

≤c≤3+2

10

，
将点（1-2

2

，1）代入2a+b=c得：
c=2（1-2

2

）+1=3-4

2

，
∴2a+b的取值范围是[3-2

10

，3-4

2

）．

点评：本题考查带绝对值的函数，突出考查二次函数的图象与性质，考查线性规划问题，作图是难点，属于难题．