Question

已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R.对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论；

(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

Answer 1

思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.

解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题.

用反证法证明：

假设a+b＜0,

则a＜-b,b＜-a.

∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,

则f(a)＜f(-b),f(b)＜f(-a).

∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,

∴逆命题为真.

(2)逆否命题：若f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b),

则a+b＜0,真命题.

证明：∵a+b≥0,

∴a≥-b,b≥-a.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

∴逆否命题为真.

    深化升华 互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.