题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，∠F1PF2=60°，设
|PF1|
|PF2|
=λ
（I）当λ=2时，求椭圆离心率e；
（II）当椭圆离心率最小时，PQ为过椭圆右焦点F2的弦，且|PQ|=
16
5
，求椭圆的方程．
分析：（I）由
|PF1|
|PF2|
=2，|PF1|+|PF2|=2a，知|PF1| =
4
3
a，|PF2|=
2
3
a，再由cos∠F1PF2=
(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|
2|PF1| |PF2|
=
1
2
，能够推导出椭圆离心率e．
（II）由题设知
|PF1 =λ|PF2
|PF1 +|PF2 =2a
，故
|PF1 =
λ
1+λ
•2a
|PF2 =
1
1+λ
•2a
，再由cos∠F1PF2=
(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|
2|PF1| |PF2|
=
1
2
，知
4a2-4c2
λ
(1+λ)2
•4a2
=3，由此结合|PQ|=
16
5
，能够求出椭圆的方程．
解答：（I）解：
|PF1|
|PF2|
=2，∴|PF1|=2|PF2|，
∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF1| =
4
3
a，|PF2|=
2
3
a，
cos∠F1PF2=
(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|
2|PF1| |PF2|
=
1
2
，
∴
4a2-4c2
2•
8
9
a2
=
3
2
，∴
c2
a2
=
1
3
，∴e=
3
3
．
（II）解：
|PF1 =λ|PF2
|PF1 +|PF2 =2a
?
|PF1 =
λ
1+λ
•2a
|PF2 =
1
1+λ
•2a
，
cos∠F1PF2=
(|PF1|+|PF2|)2-|F1F2|2-2|PF1| |PF2|
2|PF1| |PF2|
=
1
2
，
∴
4a2-4c2
λ
(1+λ)2
•4a2
=3，∴1-e2=
3λ
(1+λ)2
，∴e2=1-
3λ
1+2λ+λ2
=1-
3
1
λ
+2+λ
≥1-
3
4
=
1
4
．
取等号时，λ=1，|PF2| =
1
1+λ
•2a=a，
∴p（0，b），k=-
b
c
=-
3
，∴
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
y=-
3
(x-c)
，
∴5x2-8cx=0，∴x1+x2=
8c
5
，
|PQ|=2a-e(x1+x2)  =4c-
1
2
• 
8c
5
=
16
5
，
∴c=1，∴
x2
4
+
y2
3
=1．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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