题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过点A
-a，0
，B
0，b
的直线倾斜角为
π
6
，原点到该直线的距离为
3
2
，求椭圆的方程．
分析：过点A
-a，0
，B
0，b
的直线方程为
x
-a
+
y
b
=1，化为bx-ay+ab=0．由于过点A
-a，0
，B
0，b
的直线倾斜角为
π
6
，可得
b
a
=tan
π
6
=
3
3
．又原点到该直线的距离为
3
2
，利用点到直线的距离公式可得
ab
a2+b2
=
3
2
，联立解得即可．
解答：解：过点A
-a，0
，B
0，b
的直线方程为
x
-a
+
y
b
=1，化为bx-ay+ab=0．
∵过点A
-a，0
，B
0，b
的直线倾斜角为
π
6
，∴
b
a
=tan
π
6
=
3
3
．
又原点到该直线的距离为
3
2
，∴
ab
a2+b2
=
3
2
，
联立
b
a
=
3
3
ab
a2+b2
=
3
2
，解得
a=
3
b=1
．
∴椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1．
点评：本题考查了直线的截距式、斜率计算公式、点到直线的距离公式及椭圆的标准方程，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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