Question

求g（x）=lnx-ax²在[1，2]上的最大和最小值．

Answer 1

分析：求导数g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，分a≤0，a＞0两种情况进行讨论：其中当a＞0时，再按照极值点在区间的左侧、内部、右侧即分

1 2a

≤1，1＜

1 2a

＜2，

1 2a

≥2三种情况讨论，由单调性可求得最值．

解答：解：g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
令g′（x）=0得2ax²=1，①
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[1，2]上为增函数，所以g（x）的最大值为g（2），最小值为g（1），
当a＞0时，由①得x=

1 2a

，
（1）若

1 2a

≤1，即a≥

1

2

时，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]上为减函数，
∴最大值为g（1），最小值为g（2）
（2）若1＜

1 2a

＜2，即

1

8

＜a＜

1

2

时，g（x）在（1，

1 2a

）上为增函数，在（

1 2a

，2）上为减函数，
∴最大值为g（

1 2a

）=-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值为g（2），g（1）中较小的数，
∵g（2）-g（1）=ln2-3a，
若a≤

1

3

ln2，则g（2）≥g（1）；若a＞

1

3

ln2，则g（2）＜g（1）；
所以当

1

8

＜a≤

1

3

ln2时，最小值为g（1），当

1

3

ln2＜a＜

1

2

时，最小值为g（2），
（3）当

1 2a

≥2，即0＜a≤

1

8

时，g′（x）≥0，此时g（x）在[1，2]上为增函数，
所以g（x）的最大值为g（2），最小值为g（1）；
综上得：a≤

1

8

时，最大值为ln2-4a，最小值为-a；

1

8

＜a≤

1

3

ln2时，最大值为）=-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值为-a；

1

3

ln2＜a＜

1

2

时，最大值为）=-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值为ln2=4a；
当a≥

1

2

时，最大值为-a，最小值为ln2-4a．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生推理论证能力，属中档题．