Question

设，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求x₂，x₃，x₄的值；
（Ⅱ）归纳{x_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（Ⅰ），
，
．
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 ．
当n=1时，，与已知相符，归纳出的公式成立．
假设当n=k（k∈N^*）时，公式成立，即，
那么，．
所以，当n=k+1时公式也成立．
综上，对于任何n∈N^*都成立．
分析：（Ⅰ）根据设，x₁=1，x_n=f（x_n-1），分别令n=2，3，4时，代入已知条件即可求得结果；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可以归纳出{x_n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，是数学归纳法证明问题的核心和关键．