Question

19．己知x∈R，则函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+4}$的值域是[$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 可设$y=\frac{x}{{x}^{2}+4}$，从而得到yx²+4y=x，进一步可得到yx²-x+4y=0，可看成关于x的方程，方程有解，显然需讨论y：y=0容易判断满足方程有解，而y≠0时，需满足△=1-16y²≥0，这样解出y的范围，并上y=0便可得出原函数的值域．

解答 解：设y=f（x），则：
yx²+4y=x；
∴yx²-x+4y=0，看成关于x的方程，方程有解；
①y=0时，x=0，满足方程有解；
②y≠0时，△=1-16y²≥0；
解得$-\frac{1}{4}≤y≤\frac{1}{4}$；
∴综上得，原函数的值域为$[-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}]$．
故答案为：[$-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$]．

点评 考查函数值域的概念，以及形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法：整理成关于x的方程的形式，根据方程有解求值域，一元二次方程有解时判别式△的取值情况．