Question

8．已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…x_n），x_i∈Z，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于S_n中的任意两个元素A=（a₁，a₂，…，a_n）和B=（b₁，b₂，…，b_n），定义A与B之间的距离为d（A，B）=$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|，-A=（-a₁，-a₂，…，-a_n），记I=（1，2，3，…，n），I∈S_n．现有下列命题：
①若A=（2，2），I∈S₂，则d（A，I）=1；
②若A，B，I∈S₃，则d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B）；
③若A，B，I∈S_n，则d（I，A）=d（I，B）=p（p是常数），则d（A，B）不大于2p；
④若I∈S₂₀₁₅，B=（x，x，…，x）∈S₂₀₁₅，记f（x）=d（I，B）+d（I，-B），则有2015个不同的实数a满足f（a²-2a）=f（a-1）．
其中的真命题有①③（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 对于①直接根据新定义计算即可判断①，对于②取A=B=I，则d（I，A）=d（I，B）=d（A，B）=0故判断②，对于③利用绝对值几何意义即可判断，对于④先求出f（x），再代入求解即可判断．

解答 解：①∵I∈S₂，∴I=（1，2），
又A=（2，2），∴d（A，I）=|2-1|+|2-2|=1，故①正确；
②取A=B=I，则d（I，A）=d（I，B）=d（A，B）=0，
∴d（I，A）+d（I，B）＞d（A，B），故②不正确；
③d（A，B）=$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|≤$\sum_{i=1}^{n}|{a}_{i}-i|+\sum_{i=1}^{n}|i-{b}_{i}|$=2p，故③正确；
④f（x）=d（I，B）+d（I，-B）=$\sum_{i=1}^{2015}|i-x|+$$\sum_{i=1}^{2015}|i+x|$=x-1+x-2+…+1+0+1+2+…+2015-x+x+1+x+2+…x+2015=$\frac{x（x-1）}{2}$+$\frac{（2015-x）（2016-x）}{2}$+2015x+$\frac{2015×2016}{2}$=x²-x+2015×2016，
∵f（a²-2a）=f（a-1），
∴（a²-2a）²-（a²-2a）+2015×2016=（a-1）²-（a-1）+2015×2016，
即a⁴-4a³+2a²+3a-2=0
∴a的值最多有4个，
故④不正确
故答案为：①③

点评 本题是新定义题，考查了两点间的距离公式，训练了绝对值不等式的应用，解答的关键是对题意的理解，属于难题．