Question

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数．
（Ⅰ） 求k的值；
（Ⅱ） 若方程f(x)=log4(a•2x-a)有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=f（x）
∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx
整理可得（2k+1）x=0
∴k=-

1

2

（II）依题意知：log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a2x-a)（*）
?

4x+1=(a•2x-a)•2x (a•2x-a)＞0

令t=2^x则*变为（1-a）t²+at+1=0只需其有一正根．
（1）a=1，t=-1不合题意
（2）（*）式有一正一负根

△=a2-4(1-a)＞0 t1t2= 1 1-a ＜0

经验证满足a•2^x-a＞0∴a＞1
（3）两相等△=0?a=±2

2

-2
经验证a•2^x-a＞0
∴a=-2-2

2

综上所述a＞1或a=-2-2

2