题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点（1）求证：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角D-MC-B的余弦值．
分析：（1）建立坐标系，求出直线PA所在的向量与平面CDM内两个不共线的向量，根据向量的数量积为0得到线线垂直，进而得到线面垂直．
（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量间的运算关系求出两个向量的夹角，再转化为二面角的平面角．
（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量间的运算关系求出两个向量的夹角，再转化为二面角的平面角．
解答：解：（1）作PO⊥CD于O，连接OA
由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
则∠DOA=90°，即OA⊥CD
分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由已知P(0，0，
)，A(
，0，0)，B(
，2，0)，D(0，-1，0)，C(0，1，0)，M(
，1，
)
=(
，0，-
)，
=(0，2，0)，
=(
，0，
)
所以
•
=0，
•
=0，
所以PA⊥CM，PA⊥DC
又由CM∩DC=C，
所以PA⊥面CDM．
（2）设面MCB的法向量为
1=(x，y，z)
由
=(
，0，
)，
=(
，1，0)
，
取x=1，可得
=(1，-
，-1)．
由（1）PA⊥面CDM，取面CDM的法向量为
2=(
，0，-
)
所以cos?
1，
2＞=
，
如图二面角D-MC-B为钝二面角设其大小为θ，
则cosθ=-
由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
则∠DOA=90°，即OA⊥CD
分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由已知P(0，0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| PA |
| 3 |
| 3 |
| DC |
| CM |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
所以
| PA |
| CM |
| PA |
| DC |
所以PA⊥CM，PA⊥DC
又由CM∩DC=C，
所以PA⊥面CDM．
（2）设面MCB的法向量为
| n |
由
| CM |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| CB |
| 3 |
|
取x=1，可得
| n1 |
| 3 |
由（1）PA⊥面CDM，取面CDM的法向量为
| n |
| 3 |
| 3 |
所以cos?
| n |
| n |
| ||
| 5 |
如图二面角D-MC-B为钝二面角设其大小为θ，
则cosθ=-
| ||
| 5 |
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征便于建立坐标系，进而利用空间向量解决空间角，空间距离与线面关系等问题．
练习册系列答案
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