题目内容

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点 $数学公式$ 在直线 $数学公式$ 上．数列{b_n}满足 $数学公式$ ，且b₃=11，前9项和为153．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）设 $数学公式$ ，问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由题意，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．…（1分）
故当n≥2时， $\text{[math]}$ ．…（3分）
当n=1时，a₁=S_l=6，所以，a_n=n+5（n∈N^*）． …（4分）
又b_n+1-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+l=b_n+1-b_n（n∈N^*），所以{b_n}为等差数列，…（5分）
于是 $\text{[math]}$ ．而b₃=11，故 $\text{[math]}$ ．…（7分）
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）． …（8分）
（Ⅱ） $\text{[math]}$ …（9分）
①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，m=11． …（1分）
②当m为偶数时，m+15为奇数，
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
所以m+20=15m+10，m= $\text{[math]}$ （舍去）． …（13分）
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立． …（14分）
分析：（Ⅰ）由已知条件得 $\text{[math]}$ ，根据前n项和与第n项的关系求出当n≥2时的通项公式，再由a₁=S_l=6，求得数列{a_n}的通项公式．利用等差中项证明{b_n}为等差数列，求出公差和第三项，从而求得{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）分m为奇数和m为偶数，分别利用条件f（m+15）=5f（m）求出m的值，可得结论．
点评：本题主要考查数列的函数特性，等差数列的通项公式的应用，现了分类讨论的数学思想，属于中档题．