Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，若椭圆上存在一点C，使

OA

+

OB

=

OC

，则椭圆的离心率是（　　）

• A、

  5

  5

• B、

  10

  5

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意可得直线AB的方程为，y=x-c．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量

OA

+

OB

=

OC

，可得点C的坐标，代入椭圆方程，再利用b²=a²-c²及离心率计算公式e=

c

a

即可得出．

解答：解：由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意可得直线AB的方程为，y=x-c．
联立

y=x-c x2 a2 + y2 b2 =1

，化为（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∵△＞0，∴x1+x2=

2a2c

a2+b2

，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c=

2a2c

a2+b2

-2c=-

2b2c

a2+b2

．
∵

OA

+

OB

=

OC

，∴（x_c，y_c）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴

xc= 2a2c a2+b2 yc= -2b2c a2+b2

，
∵点C在椭圆上，∴

( 2a2c a2+b2 )2

a2

+

( -2b2c a2+b2 )2

b2

=1，
化为4c²=a²+b²，
∵b²=a²-c²，∴4c²=2a²-c²，化为

c2

a2

=

2

5

，
∴e=

c

a

=

10

5

．
故选B．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．