Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x．
（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（I）根据倍角公式及和差角公式，我们可以化简函数的解析式，进而根据正弦型函数的周期性和单调性，可求出f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）当x∈[0，

π

2

]时，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，结合正弦函数的最值，可求出函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

解答：解：（I）f(x)=

3

sinxcosx-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

∵ω=2，
∴T=π，即f（x）的最小正周期为π
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ-

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（II）∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）的最大值为

1

2

当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（x）的最小值为-1

点评：本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数，熟练掌握正弦型函数的周期性，单调性，最值等性质是解答的关键．