Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(,0).

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·＞2（其中O为原点）,求k的取值范围.

Answer 1

解：（1）设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0).由已知得a=,c=2,再由a²+b²=2²,得b²=1.

故双曲线C的方程为-y²=1.

（2）将y=kx+2代入-y²=1,得(1-3k²)x²-62kx-9=0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即k²≠且k²＜1.①

设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)，则x_A+x_B=,x_Ax_B=,由·＞2得x_Ax_B+y_Ay_B＞2,

而x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+(kx_A+)(kx_B+)=(k²+1)x_Ax_B+k(x_A+x_B)+

=(k²+1)+2k+2=.

于是＞2,即＞0,解此不等式得＜k²＜3.②

由①②得＜k²＜1.故k的取值范围为(-1,)∪(,1).